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圆心角
  • 资源类型:教案
  • 教材版本:冀教版
  • 适用年级:九年级
  • 所属学科:数学
  • 浏览次数:457 (周:6月:12)
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  • 上传用户:杨凤珍
  • 资源作者:杨凤珍
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  • 更新时间:2015年12月21日
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教案内容

28.3圆心角和圆周角(1)
教学目标
1.理解圆心角的概念,利用圆的旋转不变性,发现圆中弧、弦、圆心角关系,并能正确推理和应用.
2.通过观察、比较、推理、归纳等活动,发展推理能力以及概括问题的能力.
3.培养学生探索数学问题的积极态度和科学的方法.
教学重点:探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题.
教学难点:圆心角、弧、弦之间关系定理中的"在同圆或等圆"条件的理解及定理的证明.
(1)注意师生互动,提高学生的思维效率.(2)针对学生的盲区,出相应的练习巩固.
教学方法:
本节课主要采用以类比发现法为主,以讨论探究法、练习法为辅的教学方法.
教学过程设计
问题与情景 师生行为 设计意图
「活动1」回顾与自学
问题:1.复习相关定义:(1)弧的定义;
(2)弦的定义;(3)等圆.
2.如图1中,
弧:                              
弦:                                
    
3.什么是圆心角?你能举例说明吗?
〖答案〗(1)略;
(2) , ;AB,AC,BC.
(3)略.
「活动2」课堂探究(分组讨论,合作探究)
(学生活动)活动1:绕圆心转动一个圆,你有什么发现?(教师演示操作)
〖答案〗圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,圆具有旋转不变的特性.
活动2:结合下图,说说
(1)什么叫圆心角?                
(2)在图1中,圆心角有                 ,∠AOB所对的弧是_______,所对的弦是_______,弦AC所对的圆心角是_______,所对的弧是_______,弦AB所对的圆心角是_______,所对的弧是________.

〖答案〗(1)顶点在圆心的角叫做圆心角;
(2)∠AOC,∠AOB; ;AB;∠AOC; ;∠AOB; .
活动3:动画演示:如图所示的⊙O中,分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′OB′,将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置,你能发现哪些等量关系?为什么?

 
(1)∠AOB=________;(2) =_______;(3)弦AB= ________
〖答案〗(1)∠A′OB′(2)
(3)弦A′B′
理由:∵半径OA与O′A′重合,且∠AOB=∠A′OB′
 ∴半径OB与OB′重合
 ∵点A与点A′重合,点B与点B′重合
 ∴ 与 重合,弦AB与弦A′B′重合
 ∴ = ,AB=A′B′
活动4:在等圆中,相等的圆心角是否也有所对的弧相等,所对的弦相等呢?请同学们现在动手作一作.(学生活动)
    你能发现哪些等量关系?说一说你的理由?
  
〖答案〗: = ,AB=A/B/.
    现在它的证明方法就转化为前面的说明了,这就是又回到了我们的数学思想上去呢──化归思想,化未知为已知,


(学生活动)请同学们现在给予说明一下. 
教师展示练习(详见课件),让学生能集体回答相关定义,并能结合图形回答问题(采用个别回答的形式). 3个问题,其中前2个问题复习回顾,第3个问题自学与预习.

 

1.学生经过认真观察,发现圆绕圆心不论旋转多少度,圆始终不变,都能与原来的图形重合.


2.根据课前预习及结合图形,回答:顶点在圆心的角叫做圆心角;并能找出图形中相关的圆心角、弦、弧.

 


3.通过观察,学生发现:
∠AOB=∠A′OB′, = ,弦AB=弦A′B′.

 


学生根据图形进行探究,猜想,并验证

 

 


4.学生思考,类比同圆中得到的结论进行探究,猜想,并验证
老师点评:如图1,在⊙O和⊙O′中,分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′得到如图2,滚动一个圆,使O与O′重合,固定圆心,将其中的一个圆旋转一个角度,使得OA与O′A′重合.
 
(1)    (2) 通过这一题组复习旧知,为后面探索新知做好铺垫 ,这也是根据诱发兴趣原理(在新知识教学中,使学生回忆并注意可以诱发的解决一连串的疑问的旧有经验),为掌握新知打下基础.

 

通过观察,发现新知:具有旋转不变的特性;重视知识形成过程,培养学生自主探究的学习方法、培养学生的观察发现能力,经历新知的探索过程.

培养学生课前预习的好习惯,并能结合具体图形、实际问题把所学新知落到实处.

 

 

 

 

 

 

 

 

变抽象思维为形象思维,培养学生用符号语言表示结论,发展学生用符号语言说理的能力.
同时体现出一种"问题情景---数学模型-----概念归纳"的模式,有计划的逐步展示知识的产生过程,渗透方程思想.
「归纳与发现」
结论1:圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,圆具有旋转不变的特性.
结论2:
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.
    同样,还可以得到:(推论)
    在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦也相等.
    在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧也相等.

应用拓展1
出示课本中的例题:
如图,在⊙O中,弧AB=弧AC,∠ACB=60°,求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC.    
 
〖答案〗
证明:根据弧、弦、圆心角的关系定理,要说明三个圆心角∠AOB=∠BOC=∠AOC,可以转化为说明这三个圆心角所对的弦相等.
证明: ∵弧AB=弧AC
∴AB=AC,△ABC是等腰三角形  
又  ∠ACB=60°
∴△ABC是等边三角形,AB=BC=CA
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC

 

 

 

 

应用拓展2
1.如图,AB是⊙O 的直径, ,
∠COD=35°,求∠AOE 的度数.
 
2.如图,已知AB、CD为⊙的两条弦,
 ,求证:AB=CD.
 
3.如图OE⊥AB于E,OF⊥CD于F,如果AB=CD则可得出结论(至少填写两个)?
 
〖答案〗1.∵ ,∠COD=35°
∴∠BOC=∠COD=∠EOD=35°
∴∠AOE=180°-∠BOE=75°.
2.∵ ,∴ ,
即: ,∴AB=CD.
3.解:OE=OF,∠AOB=∠COD,其他线段相等,三角形全等,角度相等均可.
「活动4」感悟与收获
本节课学了哪些知识?有什么体会?在本节课中,对自己及其他同学们的学习表现满意吗? (归纳总结相关的概念、定理及推论)
 

 


学生思考,明白该前提条件的不可缺性,师生分析,进一步理解定理.


教师引导学生类比定理独立用类似的方法进行探究,得到推论

 


学生审题,理清题中的数量关系,由本节课知识思考解决方法,活动中教师应重点关注:学生审题,交流讨论,找到其中的等量关系,解决问题.
学生代表发言,可能有两种情况:①由弧AB=弧AC得到∠AOB=∠AOC,再推出AB=AC,然后由∠ACB=60°得到AB=AC=BC(有一个角是60°的三角形是等边三角形),最后∠AOB=∠BOC=∠AOC;②由弧AB=弧AC得到AB=AC,再由∠ACB=60°得到AB=AC=BC,从而得到∠AOB=∠BOC=∠AOC.
教师活动:操作投影,将探究应用显示,组织学生讨论.
学生活动:合作交流,讨论解答.

 

学生独立思考、独立解题.
    教师巡视、指导,并选取两名学生上台书写解答过程(或用投影仪展示学生的解答过程)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


教师引导学生归纳小结,学生反思学习和解决问题的过程,交流学习心得.
学生独立完成作业,教师批改、总结.
 感受类比思想,类比中全面透彻地理解和掌握关系定理和它的推论,并进行推广,得到其他几个定理,完整的把握所学知识.
给出一般叙述,以其更好的应用.

 

 

 

 

培养学生解决问题的意识和能力,体会转化思想,化未知为已知,从而解决本题.

 

 

 


运用所学知识进行应用,巩固知识,形成做题技巧

 

 

 

 

 

 

 


通过习题,巩固定理内容,加深对定理的理解.初步应用定理解决问题,培养学生的逻辑推理能力及应用知识的能力.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


围绕问题,生生交流,师生交流,完成对本节课的总结,提炼学习的收获.
通过归纳总结,使学生优化概念,内化知识.

「活动5」课后作业
    1.如果两个圆心角相等,那么(  )
      A.这两个圆心角所对的弦相等             B.这两个圆心角所对的弧相等
      C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等     D.以上说法都不对
    2.在同圆中,圆心角∠AOB=2∠COD,则两条弧AB与CD关系是(  )
      A. =2     B. >     C. <2     D.不能确定
    3.如图5,⊙O中,如果 =2 ,那么(  ).
A.AB=AC     B.AB=AC    C.AB<2AC    D.AB>2AC
              

4.如图,以 ABCD的顶点A为圆心,AB为半径作圆,分别交BC、AD于E、F,若∠D=50°,求 的度数和 的度数.
 
教学反思
本节课学生学得兴趣盎然,课堂气氛活跃,积极参与探索,互动交流讨论形成知识.大部分学生都能基本掌握所学知识,并能应用知识进行有关的计算和证明,教学效果较好.在整个课堂教学设计中,我做到了四个重视.第一,重视培养学生的自学能力和初步的探索教学内容的能力.具有探索性、开放性,能给学生创设自主探索的机会;第二,重视数学知识与实际应用的紧密联系,能引导学生联系自己的生活经验和已有的知识学习数学,并能把学到的数学知识应用到实践中去;第三,重视发挥学生的主体作用,指导学生从数学活动中学习数学,通过自己的动手、动脑实践,不断探索来获得知识并应用知识;第四,重视激发学生学习数学的兴趣,培养喜爱数学的情感,树立学好数学的信心,发扬敢想、敢说、敢争论的精神.
本节课的教学策略是通过白板动画演示学生观察、思考、交流合作活动,让学生亲身经历知识的发生、发展及其探求过程,再者通过教师演示动态课件及引导,让学生感受圆的旋转不变性,并能运用圆的对称性研究圆中的圆心角、弧、弦间的关系定理.同时注重培养学生的探索能力和简单的逻辑推理能力.体验数学的生活性、趣味性,激发他们的学习兴趣.
(1)情景引入中运用媒体形象直观的展现了折扇中蕴涵的圆心角、弧、弦之间的关系,激发学生的学习兴趣,并让学生体会到数学来源于生活.
(2)在探究圆的旋转不变性和探究圆心角、弧、弦之间的关系定理时,教师应用白板的旋转功能让学生观察--猜想--证明--归纳的数学过程,让学生既轻松又形象直观地获得了新知.
(3)在应用提高过程中,运用白板的链接功能把枯燥无味的数学问题用学生喜爱的三国任务链接起来,让数学也充满了趣味性,同时大大提高了课堂效率.
总的来说,本节课中白板的使用既大大提高了课堂效率,又把数学的课堂变成了生活的课堂,学生探究的课堂,让学生体验到数学的美.小组合作交流为学生提供展示自己聪明才智的机会,让学生畅所欲言,更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解,以及思维的误区,以便指导今后的教学.课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位,通过运用各种启发、激励的语言,以及组织小组合作学习,帮助学生形成积极主动的求知态度及主动参与、合作交流的意识.
本节教学需由浅入深,循序渐进,逐步深入,学生探究的问题愈来愈有挑战性,教师适当点拨和学生充分讨论形成共识,教师设置由浅入深一些练习题,加深对概念的理解与把握.本节课遵循了新课标所倡导的教学模式:"问题情境--建立数学模型--解释、应用与拓展",让学生去探索去发现规律,解决问题,培养学生的探索能力和创造能力.让学生在愉快的活动中体验成功的喜悦,增进学习数学的自信.
教材只是为教师提供最基本的教学素材,教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整.本节课的设计中教师可根据学生的实际情况,若学生基本功扎实,有较强的分析解决问题的能力,情境中的问题可不必采用填空的形式,放手让学生自己解决,个别题目可用多种设法列法.
在今后的教学中,要把数学思想和方法的教学贯穿于整个教学中,学生只有及早形成自己的思想和方法,才能学得轻松,从而更加爱学数学.同时及时找出课堂上出现的共性问题,利用辅导课及时纠正,然后做针对性练习来巩固盲区,强化课堂薄弱环节,使课堂走向优质高效化.
 

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